两质点弹簧系统公式推导

问题描述： 两质量分别为 \(m_1, m_2\) 的质点通过劲度系数为 \(k\)、原长为 \(L_0\) 的轻弹簧连接。 初始时两质点间距为 \(L\)，速度分别为 \(v_1, v_2\)。求之后任意时刻两质点的位移 \(x_1(t), x_2(t)\)（以水平向右为正方向）。

m₁ x₁(t) m₂ x₂(t) v₁ v₂ L

1. 建立动力学方程

$$ m_1\,\ddot{x}_1 = k\bigl(x_2 - x_1 + L - L_0\bigr) \tag{1} $$ $$ m_2\,\ddot{x}_2 = -k\bigl(x_2 - x_1 + L - L_0\bigr) \tag{2} $$

2. 相对运动微分方程

两式相减得

$$ \ddot{x}_1 - \ddot{x}_2 + \frac{k\,(m_1+m_2)}{m_1m_2}\,(x_1 - x_2) = \frac{k\,(m_1+m_2)}{m_1m_2}\,(L - L_0) \tag{3} $$

3. 求解齐次方程并叠加特解

令 \(x = x_1 - x_2 - (L - L_0)\)，可化为简谐振动方程

$$ \ddot{x} + \omega^2 x = 0,\qquad \omega = \sqrt{\frac{k\,(m_1+m_2)}{m_1m_2}}. $$
$$x(t) = A\sin(\omega t + \varphi).$$
$$ x_1 - x_2 = A\sin(\omega t + \varphi) + L - L_0. \tag{4} $$

4. 初值条件

$$A\sin \varphi = L_0 - L. \tag{5}$$
$$ A\omega\cos \varphi = v_1 - v_2. \tag{6} $$

5. 求 \(x_1(t)\)

$$ \ddot{x}_1 = -\frac{kA}{m_1}\sin(\omega t + \varphi). \tag{7a} $$
$$ x_1(t) = \frac{m_2}{m_1+m_2}A\sin(\omega t+\varphi) + \frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}\,t + \frac{m_2}{m_1+m_2}(L - L_0). \tag{7} $$
$$ \dot{x}_1(t) = \frac{m_2A\omega}{m_1+m_2}\cos(\omega t+\varphi) + \frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}. \tag{8} $$

6. 求 \(x_2(t)\)

$$ x_2(t) = -\frac{m_1}{m_1+m_2}A\sin(\omega t+\varphi) + \frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}\,t + \frac{m_1}{m_1+m_2}(L_0-L). \tag{9} $$
$$ \dot{x}_2(t) = -\frac{m_1A\omega}{m_1+m_2}\cos(\omega t+\varphi) + \frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}. \tag{10} $$

7. 系统等效为串联弹簧

若将系统视为两段弹簧 \(k_1, k_2\) 串联，\(m_1\)与质心的弹簧为\(k_1\)，\(m_2\)与质心的弹簧为\(k_2\)，且设质心到两质点距离为 \(\ell_1, \ell_2\)，则

$$ \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} = \frac{1}{k}. \tag{11} $$

再令 \(k_1\ell_1 = k_2\ell_2 = kL\)、\(m_1\ell_1 = m_2\ell_2\) 可得

$$ k_1 = \frac{m_1+m_2}{m_2}\,k,\qquad k_2 = \frac{m_1+m_2}{m_1}\,k. \tag{12} $$

8.结论：

\(m_1,m_2\) 的运动可视为系统质心的匀速平动与\(m_1,m_2\) 各自相对于质心的简谐振动的叠加。

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